Exemplos Envolvendo Grandezas e Números Diretamente Proporcionais

Se o balde da situação acima tiver uma capacidade de 7,98 litros, estando o mesmo vazio, quantos segundos serão necessários para enchê-lo completamente?

Podemos escolher qualquer uma das linhas da tabela acima, para juntamente com o 7,98 corresponde à capacidade do balde, montarmos uma proporção.

Vamos chamar de t o tempo que estamos procurando e por comodidade nos cálculos, vamos escolher a primeira linha da tabela para montarmos a proporção abaixo:

Observe que esta proporção segue os mesmos padrões das quatro proporções citadas mais acima. A primeira razão é formada por dois valores da primeira coluna e a segunda razão, pelos dois respectivos valores da segunda coluna, só que neste caso a linha do consequente (denominador) não têm os seus dados visíveis na tabela, pois paramos a tabela na décima linha.

Vamos encontrar o valor de t recorrendo à propriedade da quarta proporcional que estudamos no tópico proporção:

 Serão necessários 57 segundos para se encher o balde completamente.

Os números 15, 17, 21 e 25 são respectivamente diretamente proporcionais aos números x, y, z e 275. Quais os valores de x, y e z?

A partir dos dados do enunciado podemos escrever a seguinte proporção:

O valor da variável x pode ser obtido da seguinte forma:

De forma análoga obtemos o valor da variável y:

E por fim o valor da variável z:

Podemos então dizer que os números 15, 17, 21 e 25 são respectivamente diretamente proporcionais aos números 165, 187, 231 e 275, pois a divisão de qualquer um dos números do primeiro grupo, pelo respectivo número do segundo grupo é sempre igual a ¹/₁₁, ou seja, também podemos obter o valor de x, y ou z simplesmente se dividindo 15, 17 ou 21 por ¹/₁₁.

¹/₁₁ é o resultado da simplificação da única razão que não possui incógnitas, ²⁵/₂₇₅, por 25.

 165, 187 e 231 são os respectivos valores de x, y e z.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Botando-se embaixo de uma torneira completamente aberta, um balde para encher, quanto mais tempo a torneira permanecer aberta, quanto mais água o balde irá conter, pelo menos até que esteja cheio. As grandezas tempo de vazão da água e volume de água no balde são grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior o tempo de vazão da água, maior o volume de água no balde.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza igualmente aumenta o mesmo número de vezes. Quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra também diminui.

Vamos analisar a tabela abaixo que representa os primeiros dez segundos do balde sob a torneira completamente aberta:

Tempo em segundos	Volume de água no balde em litros
1	0,14
2	0,28
3	0,42
4	0,56
5	0,70
6	0,84
7	0,98
8	1,12
9	1,26
10	1,40

Conceitualmente a razão de dois valores quaisquer da primeira coluna é igual a razão dos respectivos valores da segunda coluna, assim temos:

Cada uma das igualdades acima são exemplos de uma proporção. Estas proporções são formadas pela igualdade de duas razões. A primeira é a razão de dois valores da primeira grandeza e a segunda é a razão dos respectivos valores da segunda grandeza.

Grandezas

Fisicamente falando, grandeza tem um conceito mais amplo, mas matematicamente que é o que nosso foco, podemos defini-la como tudo aquilo que pode ser medido. O número de pessoas em um elevador, o seu peso e a sua altura são exemplos de grandezas.

Medir é comparar duas grandezas, utilizando uma delas como modelo ou padrão. Uma costureira, por exemplo, para obter as medidas de uma pessoa utiliza uma fita métrica, que lhe permite comparar as medidas da pessoa com as da fita métrica, que se baseia no metro como unidade de medida. Ela então irá desenhar um molde e o irá utilizar como padrão para o corte do tecido. As medidas deste molde serão então uma grandeza que será utilizada para fazer a roupa nas mesmas proporções da pessoa.

Regra de Três Composta

Uma pessoa consome 4000 litros de água por mês. Quantos litros de água duas pessoas irão consumir em um ano?

Primeiramente para facilitar a explicação, iremos atribuir uma letra a cada grandeza. Sejam elas:

• P: O número de pessoas;
• L: A quantidade de litros de água;
• T: O período de tempo envolvido.

Montemos a representação para analisarmos o problema, mas no lugar de um ano, iremos utilizar doze meses, para que os dois períodos de tempo fiquem na mesma unidade de medida:

A ordem de colocação das grandezas na representação acima, é a mesma que a do enunciado do problema. Como você pode perceber, a grandeza L, que é a grandeza que estamos procurando (a grandeza que contém o termo x), não está posicionada nem à direita, nem à esquerda do diagrama. Isto é uma má ideia, pois irá dificultar em muito a resolução do problema, por isto devemos passá-la para a extremidade direita, ou para a esquerda. Vamos escolher esta última:

Agora ficou melhor, vamos então identificar a orientação das setas, ou em outras palavras, determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais entre si.

A grandeza de referência é a grandeza L. A posição da sua seta pode ser arbitrada tanto para cima, quanto para baixo, tanto faz. Vamos escolher para baixo:

Agora vamos determinar se L e P são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que uma pessoa consome 4000 litros. Como mais pessoas irão consumir mais litros, então as grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de P terá a mesma orientação da seta de L, ou seja, também para baixo:

Finalmente falta-nos determinar se L e T são diretamente ou inversamente proporcionais. Sabemos que em um mês são consumidos 4000 litros. Obviamente se aumentarmos o tempo de consumo, também aumentaremos o consumo em litros, então as grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de T terá a mesma orientação da seta de L, isto é, para baixo:

Se houvesse alguma seta com orientação oposta à seta de L, os termos desta grandeza deveriam ser invertidos. Como não é o caso, basta-nos montarmos a proporção e resolvê-la:

 Portanto as duas pessoas irão consumir 96 mil litros de água em um ano. A título de curiosidade, 96000 litros equivalem a 96 metros cúbicos.

Para encher um tanque com 400 metros cúbicos de capacidade, duas torneiras levaram 4 horas para enchê-lo. Quantas horas seriam necessárias para enchê-lo com 6 torneiras, se o tanque tivesse apenas 300 metros cúbicos de capacidade?

Primeiro vamos atribuir uma letra a cada grandeza:

• M: A capacidade em metros cúbicos do tanque;
• T: A quantidade de torneiras;
• H: A duração de cada operação em horas.

A representação para analisarmos o problema é a seguinte:

Observe que na montagem a grandeza H, que é a grandeza que estamos procurando (a grandeza que contém o termo x), deve estar posicionada à direita, como colocamos, ou à esquerda se desejássemos, mas não em outra posição. O motivo disto é deixar a razão com o termo x isolada.

A partir daí podemos então identificar a orientação das setas, ou em outras palavras, determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais entre si.

A grandeza de referência é a grandeza H, pois é ela que está sendo procurada. Você já sabe que a posição da sua seta pode ser arbitrada tanto para cima, quanto para baixo. Para padronizar, vamos escolher a seta da grandeza de referência sempre para baixo:

Vamos determinar se H e M são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que ao diminuirmos a capacidade do tanque, também iremos diminuir o tempo necessário para enchê-lo, então em sendo assim, as duas grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de M terá a mesma orientação da seta de H que é para baixo:

Vamos agora determinar se T e H são diretamente ou inversamente proporcionais. Sabemos que se aumentarmos a quantidade de torneiras, automaticamente iremos diminuir o tempo necessário para encher o tanque, por isso as duas grandezas são inversamente proporcionais, logo a seta de T terá orientação oposta a da seta de H, ou seja, será para cima, pois quanto uma aumenta a outra diminui:

Podemos perceber que a seta da grandeza T possui orientação oposta à da grandeza H, devemos então inverter tanto a seta, quanto os seus elementos. Teremos então:

Por fim montemos a proporção e vamos resolvê-la seguindo a "propriedade fundamental das proporções":

 Portanto com 6 torneiras poderíamos encher 300 metros cúbicos em apenas uma hora.

Regra de Três Simples Inversa

Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo muro em 6 horas de trabalho. Se ao invés de dois, fossem três pedreiros, em quantas horas tal muro poderia ser construído?

Você pode facilmente compreender que aumentando o número de pedreiros, o tempo necessário para a construção do muro será menor, pois a mão de obra aumenta, mas a tarefa continua a mesma.

Percebemos então que este problema trata grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui e vice-versa.

Vamos chamar de P a grandeza que representa a quantidade de pedreiros e de H a grandeza que representa o número de horas de trabalho para a construção do muro. Vejamos então a representação abaixo:

Neste caso as setas apontam na direção oposta, pois as grandezas são inversamente proporcionais.

Para a resolução do problema, iremos novamente utilizar a "propriedade fundamental das proporções", no entanto para que isto seja possível, devemos primeiro deixar as duas setas com a mesma orientação. Como a seta referente à grandeza H (a grandeza referente ao x) está para cima, iremos inverter os termos da outra razão para que a sua seta também fique para cima:

Perceba que sempre que tenhamos que realizar alguma mudança na orientação das setas, a grandeza que contém o termo x é tomada como referência e não é alterada. A outra grandeza, ou outras no caso de se tratar de uma regra de três composta, é que deve mudar.

Então agora podemos montar a proporção segundo a "propriedade fundamental das proporções":

 Portanto com três pedreiros serão necessárias apenas 4 horas de trabalho.

Regra de Três Simples Direta

Uma pessoa recebe R$ 1.800,00 por 30 dias trabalhados. Quantos dias esta pessoa precisará trabalhar para ter direito a receber R$ 1.200,00?

Este é o típico caso da utilização de uma "regra de três simples direta". Simples por envolver apenas duas grandezas proporcionais, e direta, porque quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta. Se uma diminui, o mesmo ocorre com a outra.

Chamemos de S a grandeza que representa o salário e de D a grandeza que representa o número de dias de trabalho e vejamos a representação abaixo:

As setas apontam na mesma direção, pois as grandezas são diretamente proporcionais. Percebemos isto, pois ao diminuirmos o número de dias trabalhados, também teremos o respectivo salário diminuído. Como o salário vai ser reduzido, obviamente o número de dias de trabalho também será. Concluímos assim, que as grandezas S e D são diretamente proporcionais.

De acordo com a orientação das setas, podemos então montar a proporção:

 Concluímos que para ter o direito a receber os R$ 1.200,00, a pessoa terá que trabalhar por 20 dias.

Como  você pode notar, a resolução de um problema de regra de três, tem por base a "propriedade fundamental das proporções". 

Teoria da Regra de Três

A resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais pode ser realizada através de uma regra prática denominada "regra de três".

Se tivermos duas grandezas diretamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples direta" e caso elas sejam inversamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples inversa".

Nos problemas onde temos três ou mais grandezas, utilizamos a "regra de três composta". Observe que neste caso, um mesmo problema pode envolver tanto grandezas diretamente proporcionais, quanto grandezas inversamente proporcionais.

Regra de Três

Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida.

A razão entre dois números a e b é obtida dividindo-se a por b. Obviamente bdeve ser diferente de zero.

32 : 16 é um exemplo de razão cujo valor é 2, isto é, a razão de 32 para 16 é igual a 2.

Você só poderá obter a razão entre o comprimento de duas avenidas, se as duas medidas estiverem, por exemplo, em quilômetros, mas não poderá obtê-la caso uma das medidas esteja em metros e a outra em quilômetros ou qualquer outra unidade de medida que não seja o metro. Neste caso seria necessário que fosse eleita uma unidade de medida e se convertesse para ela, a grandeza que estivesse em desacordo.

Na razão, o número a é chamado de antecedente e o b tem o nome deconsequente.

Porcentagem ou razão centesimal são as razões cujo termo consequente é igual a 100. Representamos a porcentagem através do símbolo "%".

10% é o mesmo que 0,10 (10 centésimos).

Proporção nada mais é que a igualdade entre razões.

Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro meninas, ou seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual 0,75. Suponhamos que na sala B, tenhamos seis meninos para cada oito meninas, então a razão é 6 para 8, que também é igual 0,75. Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que ambas as razões são iguais a 0,75.

Regra de três é um método de resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais.

"Um automóvel viajando a 80km faz determinado percurso em 2 horas. Se a viagem fosse realizada à velocidade de 120km, qual seria o tempo gasto?". Este é um exemplo de problema que pode ser resolvido via regra de três, no caso uma regra de três simples inversa.

A solução dos problemas de regra de três tem como base a utilização da "propriedade fundamental das proporções" e a "quarta proporcional".

Como calcular um valor percentual de um número?

Agora que temos uma visão geral do que é porcentagem, como calcular quanto é 25% de 200?

Multiplique 25 por 200 e divida por 100:

Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 25% na sua forma decimal, que é 0,25 por 200:

Assim temos:

1. 4% de 32  =  0,04 . 32 = 1,28
2. 15% de 180  =  0,15 . 180 = 27
3. 18% de 150  =  0,18 . 150 = 27
4. 35% de 126  =  0,35 . 126 = 44,1
5. 100% de 715  =  1,00 . 715 = 715
6. 115% de 60  =  1,15 . 60 = 69
7. 200% de 48  =  2,00 . 48 = 96

Repare que no quinto item, 100% de 715 corresponde ao próprio 715, isto ocorre porque 100% representa o todo, ocorre porque 100% é a razão de 100 para 100 (100 : 100) que é igual a 1. Por isto 100% de um número x é o próprio número x, já que o estaremos multiplicando por 1, para sabermos o valor da porcentagem.

Analisando os itens de 1 a 4, podemos também perceber que quando o percentual é menor 100%, o número resultante será menor que o número original. Nos itens 6 e 7 percebemos que o resultado é maior que o número original. Isto ocorre porque o percentual é maior que 100%.

Nos itens 2 e 3 observamos que 15% de 180 é igual a 18% de 150. a% de b é igual a b% de a. Isto é devido à propriedade comutativa da multiplicação que diz que a . b = b . a.

Teoria da Porcentagem

As frações (ou razões) que possuem denominadores (o número de baixo da fração) iguais a 100, são conhecidas por razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo "%".

O símbolo "%" é lido como "por cento". "5%" lê-se "5 por cento". "25%" lê-se "25 por cento".

O símbolo "%" significa centésimos, assim "5%" é uma outra forma de se escrever 0,05,  ou  por exemplo.

Veja as seguintes razões:

Podemos representá-las na sua forma decimal por:

E também na sua forma de porcentagens por:

Porcentagem

Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida.

A razão entre dois números a e b é obtida dividindo-se a por b. Obviamente bdeve ser diferente de zero.

32 : 16 é um exemplo de razão cujo valor é 2, isto é, a razão de 32 para 16 é igual a 2.

Você só poderá obter a razão entre o comprimento de duas avenidas, se as duas medidas estiverem, por exemplo, em quilômetros, mas não poderá obtê-la caso uma das medidas esteja em metros e a outra em quilômetros ou qualquer outra unidade de medida que não seja o metro. Neste caso seria necessário que fosse eleita uma unidade de medida e se convertesse para ela, a grandeza que estivesse em desacordo.

Na razão, o número a é chamado de antecedente e o b tem o nome deconsequente.

Porcentagem ou razão centesimal são as razões cujo termo consequente é igual a 100. Representamos a porcentagem através do símbolo "%".

10% é o mesmo que 0,10 (10 centésimos).

Proporção nada mais é que a igualdade entre razões.

Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro meninas, ou seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual 0,75. Suponhamos que na sala B, tenhamos seis meninos para cada oito meninas, então a razão é 6 para 8, que também é igual 0,75. Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que ambas as razões são iguais a 0,75.

Regra de três é um método de resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais.

"Um automóvel viajando a 80km faz determinado percurso em 2 horas. Se a viagem fosse realizada à velocidade de 120km, qual seria o tempo gasto?". Este é um exemplo de problema que pode ser resolvido via regra de três, no caso uma regra de três simples inversa.

A solução dos problemas de regra de três tem como base a utilização da "propriedade fundamental das proporções" e a "quarta proporcional".

Exemplos de Proporção

Paguei R$15,00 por 1kg de carne. Se eu tivesse pago R$25,00 teria comprado 2kg. A igualdade da razão do preço de compra pela quantidade, dos dois casos, resulta em uma proporção?

Os termos da nossa suposta proporção são: 15, 1, 25 e 2.

Podemos utilizar a propriedade fundamental das proporções para verificamos se tais termos nesta ordem formam ou não uma proporção.

Temos então:

Como 30 difere de 25, não temos uma igualdade, consequentemente não temos uma proporção.

Poderíamos também ter analisado as duas razões:

Como as duas razões possuem valores diferentes, obviamente não se trata de uma proporção.

 Como uma das razões resulta em 15 e a outra resulta em 12,5, concluímos que não se trata de uma proporção, já que 15 difere de 12,5.

A proporção não ocorreu porque ao comprar 2kg de carne, eu obteria um desconto de R$ 2,50 no preço do quilograma, o que deixaria as razões desproporcionais.

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A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes números?

Para a resolução deste exemplo utilizaremos a terceira propriedade das proporções. Chamando um dos números de a e o outro de b, podemos montar a seguinte proporção:

Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto:

 Concluímos então que os dois números são 100 e 140.

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Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor de x?

Seguindo o explicado sobre a quarta proporcional temos:

 O valor do número x é 20.